Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Équilibre : y_=-b/a (annule y') • a0 : système instable, y(t) dès que C0 • a=0 : y'=b, solution affine y(t)=bt+C • En technologie : a=-1/ avec >0 ⇒ toujours stable

Le cours

État permanent et comportement en + La solution générale de y' = ay + b est y(t) = Ce^at - b/a (avec a 0). La valeur y_ = -b/a est la solution d'équilibre (ou état permanent). Elle vérifie y' = 0. Si a système stable. Si a > 0 : e^at + → toute solution avec C 0 diverge vers (seule la solution constante, C = 0, reste à l'équilibre) : système instable. Si a = 0 : l'équation est y' = b → y(t) = bt + C (évolution affine, sans état d'équilibre si b 0). Critère de stabilité En physique et électronique, un système décrit par y'=ay+b est stable si et seulement si a La solution tend alors exponentiellement vers l'état permanent y_ = -b/a.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre