Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Homogénéité : tous les termes d'une ED doivent avoir la même dimension • [y'] = [y]/[temps] • Constante de temps : dimension = temps ; identifiable dans y'=ay+b via =-1/a • Adimensionnement : t=t/, y=y/y_ → équation sans unités • L'adimensionnement simplifie l'analyse et permet des comparaisons universelles

Le cours

Analyse dimensionnelle Dans une équation différentielle physique, toutes les dimensions doivent être homogènes. Pour RC\,U' + U = E : [U] = V (volt), [E] = V, [RC] = s (seconde). [RC\,U'] = s V/s = V ✓ — chaque terme est en volts. Identifier la constante de temps = RC : sa dimension est toujours le temps. Adimensionnement Poser t = t/ et U = U/E transforme RC\,U'+U=E en : dUdt + U = 1 L'équation adimensionnée ne dépend plus de R, C, E : les résultats sont universels. Méthode et ordres de grandeur 1. Écrire l'unité de chaque grandeur. 2. Se rappeler que y' a l'unité de y divisée par une durée. 3. Vérifier que tous les termes ont la même unité. 4. En déduire l'unité d'un coefficient inconnu. Exemple : dans ' = -k( - _amb), ' est en ^Cs^-1 et - _amb en ^C, donc k s'exprime en s^-1 et = 1/k en secondes. À t = , l'écart à l'état final a été divisé par e 2,72 ; à t = 5, il reste moins de 1\ \% de l'écart initial.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre