Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Vérification : calculer y', calculer f(t,y), vérifier l'égalité • Condition initiale : y(t_0)=y_0 fixe la constante C • Condition asymptotique : y(t) L quand t+ • La vérification est TOUJOURS requise pour valider une résolution • En technologie : comparer la solution théorique aux mesures expérimentales

Le cours

Protocole de vérification d'une solution Pour vérifier que y(t) est solution de y' = f(t,y) avec condition initiale y(t_0) = y_0 : Calculer y'(t) en dérivant y(t). Calculer f(t, y(t)) en substituant y(t) dans le second membre. Vérifier l'égalité y'(t) = f(t, y(t)) pour tout t. Vérifier la condition initiale : y(t_0) = y_0. Conditions aux limites (CL) Deux types en Terminale Technologique : Condition initiale (Cauchy) : y(0) = y_0 — fixe la constante C. Condition asymptotique : _t+ y(t) = L — contrainte sur le comportement en +. Exemple : détecter et localiser une erreur Un élève propose y(t) = 3e^2t + 4 pour y' = 2y + 8 avec y(0) = 7. On calcule y'(t) = 6e^2t et 2y(t) + 8 = 6e^2t + 16 : les deux membres diffèrent de 16. L'erreur porte sur la solution constante, qui vaut -8/2 = -4 et non 4. La bonne solution est y(t) = 11e^2t - 4. Pour a < 0, toutes les solutions de y' = ay + b ont la même limite -b/a en + : une condition asymptotique ne permet donc pas de calculer C, elle sert de contrôle.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre