Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Système couplé : x'=ax+by, y'=cx+dy • Cas triangulaire : résoudre l'ED découplée en premier • Chaque équation du système est une ED du 1er ordre • Les conditions initiales x(0) et y(0) fixent les constantes • Applications : réactions successives A B C, transfert de charge entre deux condensateurs

Le cours

Système différentiel 22 Un système couplé se présente sous la forme : cases x'(t) = ax(t) + by(t) \\ y'(t) = cx(t) + dy(t) cases L'inconnue est le couple de fonctions (x(t), y(t)). Les deux équations sont liées : x et y apparaissent dans chacune. Résolution par découplage (cas simple) Si le système est triangulaire (ex. b=0 : x'=ax indépendant de y) : Résoudre l'équation en x seule. Substituer dans l'équation en y pour obtenir une ED du 1er ordre en y. Résoudre par les méthodes connues. Second membre exponentiel après substitution Après substitution, on obtient souvent y' + ky = A\,e^rt avec r -k. On cherche une solution particulière de la même forme y_p = B\,e^rt : en remplaçant, rB + kB = A, donc B = A/r + k. La solution générale est y(t) = Ce^-kt + B\,e^rt, puis on fixe C avec y(0). On se limite ici aux systèmes triangulaires ; les systèmes où chaque équation dépend de l'autre se traitent dans l'enseignement supérieur.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre