Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Équation y' = ay + b (a 0) : y(t) = C e^at - b/a. • Solution constante (régime permanent) : y_p = -b/a. • La constante C se calcule avec la condition initiale : y(0) = C - b/a C = y(0) + b/a.

Le cours

Résolution de l'équation différentielle linéaire y' = ay + b Pour toute équation différentielle du premier ordre à coefficients constants y' = ay + b avec a 0 : Solution particulière constante : on cherche une constante y_0 telle que y_0' = 0 : 0 = a y_0 + b y_0 = -b/a Formule générale des solutions : y(t) = C e^at - b/a (C R) Si l'équation est écrite sous la forme y' + a y = b, les solutions s'écrivent y(t) = C e^-at + b/a. Application au circuit RC et à la loi de Newton Deux modèles technologiques incontournables : Circuit RC en charge : du_Cdt + 1/RC u_C = E/RC u_C(t) = E(1 - e^-t/RC) lorsque le condensateur est initialement déchargé (u_C(0) = 0). Refroidissement d'un objet (Loi de Newton) : '(t) = -k((t) - _amb).

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre