Résolution numérique par la méthode d'Euler

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À retenir

• Formule : y_n+1 = y_n + h f(t_n, y_n) • Pas h : plus petit = plus précis mais plus de calculs • Méthode d'ordre 1 : erreur globale h • Application à y'=ay+b : y_n+1=y_n+h(ay_n+b)=(1+ha)y_n+hb • Condition de stabilité numérique : |1+ha|<1 soit -2/h < a < 0

Le cours

Principe de la méthode d'Euler Pour approcher numériquement la solution de y' = f(t, y) avec y(t_0) = y_0, on discrétise le temps : Choisir un pas h > 0 (petit). Séquence : t_n+1 = t_n + h. Formule d'Euler : y_n+1 = y_n + h f(t_n, y_n). La tangente en (t_n, y_n) est utilisée pour avancer d'un pas h. Précision et limites Erreur locale ∝ h^2 ; erreur globale ∝ h → méthode d'ordre 1. Diviser h par 2 divise l'erreur globale par 2 environ. Pour des systèmes raides (|a| grand), Euler peut diverger si h est trop grand. D'où vient la formule ? Mini-exemple Pour h petit, y(t + h) y(t) + h\,y'(t) : sur chaque petit intervalle, on remplace la courbe par sa tangente. Sur tableur ou en Python, une boucle calcule d'abord y y + h\,f(t, y), puis t t + h. Exemple : y' = 0,5y, y(0) = 2, h = 0,2. On obtient y_1 = 2 + 0,2 1 = 2,2, puis y_2 = 2,2 + 0,2 1,1 = 2,42. La valeur exacte est y(0,4) = 2e^0,2 2,443 : l'erreur est d'environ 0,02.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre