Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• y'=b (constante) : solution y(t)=bt+C • C=y(0) (condition initiale) • Représentation : droite de pente b dans le plan (t,y) • Cas particulier a=0 de y'=ay+b : pas de terme exponentiel, pas d'équilibre si b0 • Physique : vitesse constante, débit constant, taux de remplissage constant

Le cours

Équation différentielle y' = b (constante) Quand a=0, l'équation y'=ay+b se simplifie en y' = b (taux de variation constant). La solution générale est y(t) = bt + C avec C R. b est la pente de la fonction : si b>0, y est croissante ; si bLa condition initiale y(0) = y_0 donne C = y_0. Interprétation physique Ce cas correspond à un mouvement uniforme (vitesse constante b) ou une évolution à taux constant (charge constante, débit constant). La grandeur évolue linéairement dans le temps. Méthode et piège de lecture Pour résoudre y' = b avec y(t_0) = y_0 : 1. écrire y(t) = bt + C ; 2. remplacer t par t_0, ce qui donne b\,t_0 + C = y_0 ; 3. en déduire C = y_0 - b\,t_0. Exemple : y' = -2 avec y(3) = 1 donne -6 + C = 1, donc C = 7 et y(t) = -2t + 7. Lorsque la condition n'est pas donnée en t = 0, C n'est pas égal à la valeur donnée. Contrairement au cas a 0, il n'y a pas de régime permanent : si b 0, y(t) tend vers + ou - selon le signe de b.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre