Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Démarche en 4 temps : Normaliser Homogène Constante Condition initiale. • Évolution physique : Régime transitoire (C e^at) + Régime permanent (y_p). • Si a < 0, le régime transitoire s'éteint car e^at 0.

Le cours

Bilan : Méthode universelle pour résoudre y' + ay = b Les 4 étapes systématiques pour réussir tout exercice au Baccalauréat Technologique : Normaliser l'équation pour isoler y' : obtenir y' = ay + b. Résoudre l'équation homogène y' = ay : écrire y_h(t) = C e^at. Trouver la solution constante : poser y_p = -b/a. Combiner et appliquer la condition initiale : y(t) = C e^at + y_p, puis déterminer C avec la valeur y(0). Exemple modèle en quatre temps y' + 4y = 20 avec y(0) = 1. On normalise : y' = -4y + 20. La solution constante est y_p = 20/4 = 5, donc y(t) = Ce^-4t + 5. Enfin y(0) = C + 5 = 1 donne C = -4 : y(t) = 5 - 4e^-4t. Interpréter et contrôler le résultat Constante de temps = -1/a (si a Instant où y atteint une valeur v : résoudre y(t) = v en isolant e^at, puis appliquer . Vérification finale : dériver, remplacer dans l'équation, puis contrôler y(0).

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre