Tracé de courbes intégrales et champs de directions

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À retenir

• Champ de directions : petits segments de pente f(t,y) en chaque point (t,y) • Courbe intégrale : tangente au champ en tout point • Isocline de valeur k : ensemble \(t,y) : f(t,y)=k\ • Pour y'=ay+b : isoclines = droites horizontales y=cste • Euler = approche numérique du champ de directions

Le cours

Champ de directions (ou champ de pentes) Pour l'équation y' = f(t, y), en chaque point (t, y) du plan, la pente de la solution passant par ce point est f(t, y). On représente ces pentes par de petits segments : c'est le champ de directions. Une courbe intégrale est tangente à tous les segments qu'elle rencontre. Par chaque point du plan passe une unique courbe intégrale (si f est régulière). Isoclines Une isocline de valeur k est l'ensemble des points (t,y) où f(t,y) = k (même pente). Pour y' = ay+b : les isoclines sont les droites horizontales y = (k-b)/a = constante. Méthode de tracé à la main 1. Choisir une grille de points (t, y). 2. Calculer la pente f(t, y) en chaque point. 3. Tracer un petit segment de cette pente. 4. Partir du point initial et suivre les segments sans jamais couper une autre courbe intégrale. Mini-exemple pour y' = 3 - y : en (0 ; 0) la pente vaut 3, en (0 ; 3) elle vaut 0, en (0 ; 5) elle vaut -2. Les courbes situées sous la droite y = 3 montent vers elle, celles situées au-dessus redescendent vers elle.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre