Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première

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À retenir

• (e^kt)' = k\,e^kt et (Ce^kt)' = Ck\,e^kt. • f(t) = Ce^kt vérifie f'(t) = k\,f(t) et f(0) = C. • ax + b = 0 avec a 0 : x = -b/a. • C\,e^m = v C = v\,e^-m (car e^m 0).

Le cours

1. Dérivée de t e^kt Pour tout réel k, la fonction t e^kt est dérivable sur R et : (e^kt)' = k\,e^kt Avec un coefficient constant C : (C e^kt)' = Ck\,e^kt. Exemple : (4e^-5t)' = -20e^-5t. Conséquence : la fonction f(t) = Ce^kt vérifie f'(t) = k\,f(t) ; sa dérivée est proportionnelle à la fonction elle-même. Valeurs utiles : e^0 = 1 et e^kt > 0 pour tout réel t ; donc f(0) = C et f(t) a toujours le signe de C. 2. Équations du premier degré Une équation ax + b = 0 avec a 0 a une unique solution x = -b/a : on isole l'inconnue en effectuant la même opération sur les deux membres. 3x + 12 = 0 3x = -12 x = -4. L'inconnue peut être multipliée par un nombre non nul comme e^-8 : C e^-8 = 5 C = 5e^-8 = 5e^8. Contrôle : on remplace la valeur trouvée dans l'équation de départ. 3. À quoi servent ces rappels ? Dans ce chapitre, on dérive des fonctions du type Ce^kt + m pour vérifier qu'elles conviennent, puis on détermine la constante C à partir d'une valeur connue de la fonction : c'est une équation du premier degré d'inconnue C.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre