Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Le temps caractéristique d'une équation y' = ay + b avec a < 0 est = -1/a. • À t = , le système réalise 63,2\ \% de sa variation totale. • Le régime transitoire est établi à 95\ \% pour t 3 et à plus de 99\ \% pour t 5.

Le cours

1. La constante de temps tau Pour tout système physique régi par une équation différentielle linéaire stable du premier ordre : y'(t) = ay(t) + b avec a On définit le temps caractéristique (ou constante de temps), noté , par la relation : = -1/a = 1/|a| Cette grandeur a la dimension d'un temps (exprimée en secondes) et caractérise la rapidité intrinsèque de la réaction du système face à une sollicitation extérieure. 2. Critères du régime transitoire : temps de réponse à 95 % et 99 % Lors de l'évolution du système vers son état final y_, l'écart à l'équilibre décroît proportionnellement au facteur exponentiel e^-t/ : • À l'instant t = : le système a accompli environ 63,2\ \% de son évolution totale (e^-1 0,368). • À l'instant t = 3 : l'écart résiduel n'est plus que de e^-3 0,050, soit 5\ \%. C'est le temps de réponse à 95\ \% (t_95\% 3). • À l'instant t = 5 : l'écart résiduel est inférieur à 1\ \% (e^-5 0,007). En ingénierie, on considère qu'au bout de 5, le régime transitoire est achevé et que le système est entré en régime permanent. 3. Erreur sur l'axe des temps Le temps caractéristique ne représente pas la durée totale du phénomène, mais son échelle de temps naturelle. Ne confondez pas le temps pour atteindre 63\ \% (t = ) avec le temps de stabilisation quasi complète (t 3 à 5).

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre