Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant

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À retenir

• L'équation y' = ay + b (a 0) admet une unique solution particulière constante y_p = -b/a. • Cette solution correspond à l'état stationnaire pour lequel la vitesse de variation y' s'annule. • La solution générale s'exprime par y(t) = k e^at - b/a avec k R.

Le cours

1. Définition et rôle de la solution particulière constante On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants : y' = ay + b avec a 0 Une fonction constante y_p(t) = C (où C est un nombre réel indépendant du temps t) est solution de cette équation si et seulement si sa dérivée est nulle (y_p'(t) = 0). En injectant cette dérivée dans l'équation, on obtient la condition algébrique 0 = aC + b, ce qui conduit directement à la valeur unique : y_p = -b/a 2. Interprétation physique : état d'équilibre stationnaire Dans les sciences et technologies (circuits électriques, régulation thermique de fours, cuves de réacteurs chimiques), cette solution constante y_p = -b/a représente l'état d'équilibre ou régime permanent vers lequel tend le système lorsque le temps t devient très grand (pourvu que le coefficient a soit strictement négatif, assurant la stabilité). Exemple : pour l'équation y' = -2y + 10 : On identifie a = -2 et b = 10. La solution constante d'équilibre est y_p = -10/-2 = 5. La solution générale de l'équation complète est alors la somme de la solution générale de l'équation homogène associée y' = ay et de cette solution particulière constante : y(t) = k e^at + y_p = k e^at - b/a, où k est une constante réelle fixée par les conditions initiales. 3. Piège sur le signe du quotient Attention au signe moins dans la formule y_p = -b/a ! Si a est négatif (cas de la quasi-totalité des phénomènes physiques réels stables où a = -1/), le dénominateur est négatif et le signe global redevient positif si b > 0. Ne confondez pas non plus -b/a avec -a/b.

Dans ce chapitre

• Dérivée de e^kt et résolution d'équations du premier degré de Première
• Dérivation des fonctions composées et tableau de variations de Première
• Résolution d'équations et inéquations du premier degré avec paramètre de Première
• Équations différentielles linéaires du premier ordre y' = ay + b
• Comportement asymptotique et stabilité des solutions de y'=ay+b
• Cas a=0 : l'équation y'=b et ses solutions affines
• Résolution numérique par la méthode d'Euler
• Tracé de courbes intégrales et champs de directions
• Systèmes de deux équations différentielles couplées : introduction
• Analyse dimensionnelle et adimensionnement d'une équation différentielle
• Vérification et validation d'une solution par dérivation et conditions aux limites
• Solution particulière constante d'une équation différentielle avec second membre constant
• Temps caractéristique et durée du régime transitoire d'un système du premier ordre
• Bilan : Synthèse et méthode sur les équations différentielles linéaires du premier ordre