Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• f'(x) > 0 f est strictement croissante • f'(x) -b/a

Le cours

Lien fondamental dérivée et sens de variation Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I : Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. Si f'(x) strictement décroissante sur I. Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I. Signe d'une fonction affine ax + b L'expression ax + b s'annule en x_0 = -b/a (pour a 0). Le signe est le signe de -a avant x_0, puis le signe de a après x_0. Variations des fonctions usuelles Carré x x^2 : décroissante sur ]-\,;\,0], croissante sur [0\,;\,+[, minimum 0 en 0. Cube x x^3 : croissante sur R. Inverse x 1/x : décroissante sur ]-\,;\,0[ et sur ]0\,;\,+[. Second degré ax^2 + bx + c : extremum en x = -b/2a ; minimum si a > 0, maximum si a Méthode : dresser un tableau de variations 1. Calculer f'(x). 2. Étudier son signe (tableau de signes). 3. Traduire : flèche montante si f' > 0, descendante si f' < 0. 4. Calculer les extremums. Exemple : f(x) = x^3 - 3x donne f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), positive hors de [-1\,;\,1] ; f admet un maximum local f(-1) = 2 et un minimum local f(1) = -2.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution