Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Vitesse instantanée d'évolution : v(t) = f'(t) • Pour f(t) = A e^kt : f'(t) = k f(t) (vitesse proportionnelle à la grandeur) • Taux d'évolution relatif constant : f'(t)/f(t) = k • Si k > 0, la vitesse augmente ; si k < 0, la vitesse tend vers 0

Le cours

Vitesse instantanée et dérivée Pour une grandeur temporelle f(t), la vitesse instantanée d'évolution à l'instant t est égale à la dérivée f'(t) : v(t) = f'(t) = _h 0 f(t+h) - f(t)/h Elle s'exprime dans l'unité de f divisée par l'unité de temps (ex: ^C/min, individus/jour). Taux d'évolution relatif instantané La caractéristique fondamentale d'une évolution exponentielle pure f(t) = f_0 e^kt est que sa vitesse est proportionnelle à sa valeur : f'(t) = k f_0 e^kt = k f(t) f'(t)/f(t) = k Le rapport f'(t)/f(t) représente le taux d'accroissement relatif instantané : il est constant et égal à k.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution