Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• N(t) = N_0 e^kt avec k > 0 (croissance exponentielle) • Temps de doublement : T_2 = (2)/k • Taux d'accroissement proportionnel à la taille de la population : N'(t) = k N(t) • (2) 0,693

Le cours

Modèle de croissance malthusien En biologie et dynamique des populations, lorsque les ressources ne sont pas limitantes, le taux d'accroissement est proportionnel à l'effectif : N(t) = N_0 e^kt (k > 0) N_0 = N(0) est la population initiale. k est le taux de croissance instantané (exprimé en h^-1, jour^-1, an^-1). t est la durée écoulée. Temps de doublement T_2 Le temps de doublement est la durée T_2 nécessaire pour que la population double : N(T_2) = 2 N_0 N_0 e^k T_2 = 2 N_0 e^k T_2 = 2 T_2 = (2)/k Remarque : ce temps de doublement est constant, quel que soit l'instant initial considéré. Lecture du coefficient k et limites du modèle En une unité de temps, l'effectif est multiplié par e^k : avec k = 0,35\ h^-1, e^0,35 1,419, soit environ +41,9\ \% par heure. Le modèle n'est valable que tant que les ressources ne manquent pas : prolongé sur 48 h, il donnerait 1200\,e^16,8 2,4 10^10 bactéries, ce qui est irréaliste ; la croissance finit toujours par ralentir.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution