Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Dérivée fondamentale : (e^kt)' = k e^kt et (A e^kt + B)' = A k e^kt. • Signe de k : si k > 0, croissance rapide ; si k < 0, décroissance vers 0. • Constante de temps = -1/k : palier de 63\% franchi en t = , régime stabilisé à t = 5.

Le cours

Fonctions t e^kt et dérivation Dans les sciences technologiques, le temps t 0 est la variable centrale : Dérivée : pour toute constante réelle k, la dérivée de f(t) = e^kt est : f'(t) = k \, e^kt Sens de variation : comme e^kt > 0 pour tout t : Si k > 0, alors f'(t) > 0 : la fonction t e^kt est strictement croissante (croissance exponentielle). Si k strictement décroissante (atténuation, décharge, refroidissement). Temps caractéristique et constante de temps Dans l'expression f(t) = A \, e^-t/ (où = -1/k > 0 est la constante de temps) : À t = , la grandeur vaut f() = A \, e^-1 0,37 A (il ne reste que 37\% de la valeur initiale, soit une diminution de 63\%). Pour un phénomène de charge u(t) = E(1 - e^-t/), à t = , u() = E(1 - e^-1) 0,63 E (63\% de la charge). Au bout de t = 5, on considère le régime permanent atteint (> 99\% de l'évolution).

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution