Dérivée de t e^u(t) et sens de variation

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• (e^u(t))' = u'(t) e^u(t) • Cas affine : (e^at+b)' = a e^at+b • Comme e^u(t) > 0, signe de (e^u)' = signe de u' • Les extremums de e^u(t) se produisent aux mêmes points que ceux de u(t)

Le cours

Formule de dérivation de la composée Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f(t) = e^u(t) est dérivable sur I et : (e^u(t))' = u'(t) e^u(t) Cas particulier fréquent : si u(t) = kt (avec k R), alors (e^kt)' = k e^kt. Signe de la dérivée et sens de variation Comme pour tout réel t, e^u(t) > 0, le signe de la dérivée f'(t) est strictement identique au signe de u'(t) : Si u'(t) > 0, alors f'(t) > 0 et f est strictement croissante. Si u'(t) Méthode : variations de t e^u(t) 1. Identifier l'exposant u(t). 2. Calculer u'(t). 3. Étudier le signe de u'(t), qui est celui de f'(t). 4. Dresser le tableau de variations et calculer les extremums. Exemple : f(t) = e^t^2 - 2t donne f'(t) = (2t - 2)e^t^2 - 2t ; f est décroissante sur ]-\,;\,1], croissante sur [1\,;\,+[, de minimum f(1) = e^-1 0,37.

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