Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• f(0) = A + B (valeur initiale) • f'(t) = A k e^kt : sens de variation donné par le signe de A k • Si k 0 et A > 0 : _t + f(t) = +

Le cours

Structure des fonctions d'évolution f(t) = A e^kt + B Ces fonctions modélisent les phénomènes à valeur limite (charge d'un condensateur, loi de refroidissement de Newton, vitesse limite de chute) : Valeur initiale : f(0) = A e^0 + B = A + B. Dérivée : f'(t) = A k e^kt. Comme e^kt > 0, le signe de f'(t) est le signe du produit A k. Si A k > 0, f est strictement croissante. Si A k Comportement asymptotique en + Lorsque k _t + e^kt = 0 _t + f(t) = B La droite d'équation y = B est une asymptote horizontale en +. La valeur B représente l'état d'équilibre final.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution