Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Forme générale : f(t) = A e^kt + B. • Valeur initiale : f(0) = A + B. • Valeur limite (k < 0) : _t + f(t) = B. • Dérivée : f'(t) = k A e^kt.

Le cours

Bilan méthodologique : Modélisation par fonction exponentielle Pour traiter tout exercice technologique d'évolution exponentielle : Identifier les conditions initiales : la valeur à t = 0 donne souvent l'amplitude A car e^0 = 1. Déterminer le sens de variation : calculer f'(t) = k A e^kt et justifier le signe grâce à e^kt > 0. Comportement asymptotique : si k Boîte à outils de résolution Atteindre une valeur : A e^kt + B = c e^kt = c - B/A, puis kt = (c - B/A) si ce quotient est strictement positif. Doublement ou demi-vie : T = (2)/|k| ; constante de temps : = -1/k pour k Vitesse d'évolution : f'(t), en unité de f par unité de temps ; pour un produit (at + b)e^kt, utiliser (uv)' = u'v + uv'. Plan type d'un exercice 1. Calculer f(0) et l'interpréter. 2. Dériver, étudier le signe de f', dresser le tableau de variations. 3. Déterminer la limite en + et l'asymptote. 4. Résoudre l'équation ou l'inéquation demandée avec . 5. Vérifier par un calcul numérique et répondre par une phrase avec l'unité.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution