Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• e^A = e^B A = B • e^A e^B A B (conservation du sens des inégalités) • e^x = k n'a de solution que si k > 0, donnée par x = (k) • e^x > 1 x > 0 et e^x < 1 x < 0

Le cours

Propriétés d'injectivité et de stricte croissance La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Par conséquent, pour tous réels A et B : Égalité : e^A = e^B A = B Inégalité : e^A Équation e^X = k : Si k 0, l'équation n'a aucune solution (car e^X > 0). Si k > 0, l'unique solution est X = (k). Équations avec changement de variable Une équation de la forme a e^2x + b e^x + c = 0 se résout en posant X = e^x. On résout l'équation du second degré a X^2 + b X + c = 0, puis on ne conserve que les solutions X > 0 pour en déduire x = (X). Résoudre e^u = k ou e^u Pour k > 0 : e^X = k X = (k) et e^X Coefficient négatif devant l'inconnue e^-2t 0,5 -2t (0,5) t (0,5)-2 = (2)/2 0,35 : en divisant par -2, on change le sens de l'inégalité.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution