Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• e^a+b = e^a e^b et e^a-b = e^a/e^b • e^-a = 1/e^a et (e^a)^n = e^na • Pour tout x R, e^x > 0 strictement • e^0 = 1 et e^1 = e 2,718

Le cours

Règles opératoires fondamentales La fonction exponentielle x e^x transforme l'addition en multiplication. Pour tous réels a et b, et tout entier relatif n : Produit : e^a+b = e^a e^b Inverse : e^-a = 1/e^a Quotient : e^a-b = e^a/e^b Puissance : (e^a)^n = e^n a Factorisation par l'exponentielle Une technique fréquente dans les résolutions d'équations consiste à factoriser par un terme exponentiel : e^2x - 5e^x = e^x (e^x - 5) Comme e^x > 0 pour tout x, le terme e^x ne s'annule jamais, ce qui simplifie l'étude des signes. Méthode : réduire à une seule exponentielle On transforme chaque facteur en e^, puis on additionne (produit) ou soustrait (quotient) les exposants : (e^x)^3 e^-2x = e^3x e^-2x = e^x. Pour factoriser, on repère e^2x = (e^x)^2 = e^x e^x. Attention aux fausses règles e^2x 2e^x et (e^x)^2 = e^2x e^x^2. Pour x = 1 : e^2 7,39 alors que 2e 5,44 ; pour x = 3 : (e^3)^2 = e^6 403 alors que e^9 8\,103.

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