Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première

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À retenir

• Pour tout x R, e^x > 0 (jamais nul, jamais négatif). • e^0 = 1 et e^1 = e 2,718. • Règles de calcul identiques à celles des puissances : e^a e^b = e^a+b, e^-a = 1/e^a.

Le cours

Rappels sur la fonction exponentielle de base e de Première La fonction exponentielle x e^x est l'unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1. Strictement positive : pour tout réel x, e^x > 0. Propriétés algébriques : e^a+b = e^a e^b, e^a-b = e^a/e^b, e^-a = 1/e^a, (e^a)^n = e^na Croissance stricte : a Valeurs repères et allure de la courbe e^0 = 1, e^1 = e 2,718, e^-1 0,368, e^2 7,389. La courbe passe par (0\,;\,1) et (1\,;\,e), reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses et monte de plus en plus vite. Dérivée : (e^x)' = e^x, et pour une constante k : (e^kx)' = k\,e^kx. Comparer et résoudre Grâce à la stricte croissance : e^a = e^b a = b et e^a 0, une équation comme e^x = -2 n'a aucune solution. Pour simplifier un produit, on additionne les exposants : e^x e^x+1 = e^2x+1.

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