Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• _t + e^t/t = + et _t + e^t/t^n = + • Pour tout k > 0 : _t + t^n e^-kt = 0 • L'exponentielle l'emporte toujours sur les polynômes en l'infini • Lève les formes indéterminées « 0 » et « / »

Le cours

Théorème des croissances comparées en + En +, la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle puissance de t. Pour tout entier n 1 : Quotient : _t + e^t/t^n = + et _t + t^n/e^t = 0 Produit en - : _t - t^n e^t = 0 Forme équivalente : _t + t^n e^-k t = 0 pour tout k > 0. Interprétation technologique : amortissement Dans les systèmes mécaniques ou électriques amortis sans oscillation (régime critique), des signaux de la forme s(t) = (a t + b) e^-k t apparaissent. Bien que le facteur polynomial (at+b) tente de grandir, le facteur exponentiel e^-kt finit toujours par l'emporter et ramener le signal à 0.

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution