Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Tangente en 0 : y = x + 1 • Approximation affine au voisinage de 0 : e^x 1 + x, et plus généralement e^kt 1 + kt • Pour tout x R : e^x x + 1 (courbe au-dessus de sa tangente) • Courbe de t e^kt : passe par (0\,;\,1), croissante si k > 0, décroissante vers 0 si k < 0

Le cours

Tangente et approximation affine en 0 La tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation : y = e^0 (x - 0) + e^0 = 1 x + 1 = x + 1 Pour des valeurs de x très proches de 0 (x 0), on a donc l'approximation affine : e^x 1 + x Position de la courbe par rapport à sa tangente en 0 On étudie h(x) = e^x - (x + 1). Sa dérivée h'(x) = e^x - 1 est négative pour x 0 : h admet donc un minimum en 0, égal à h(0) = 0. Ainsi h(x) 0 pour tout réel x, c'est-à-dire : e^x x + 1 pour tout x R La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0 ; elle est même au-dessus de chacune de ses tangentes. Allure des courbes de t e^kt Toutes passent par le point (0\,;\,1), avec une tangente d'équation y = kt + 1 : donc e^kt 1 + kt pour t proche de 0. Si k > 0 : courbe croissante, d'autant plus raide que k est grand ; l'axe des abscisses est asymptote en -. Si k

Dans ce chapitre

• Fonction exponentielle de base e et propriétés algébriques de Première
• Règles de calcul sur les puissances et dérivation élémentaire de Première Technologique
• Tableaux de signes et variations des fonctions usuelles de Première Technologique
• Fonction exponentielle t e^kt et temps caractéristique
• Propriétés opératoires de l'exponentielle : produits, quotients et puissances
• Dérivée de t e^u(t) et sens de variation
• Étude des variations et limites de f(t) = A e^kt + B
• Résolution d'équations et inéquations avec l'exponentielle
• Modélisation de croissance exponentielle en biologie et démographie
• Décroissance radioactive et demi-vie d'un isotope
• Taux de variation instantané et vitesse d'évolution exponentielle
• Comparaison de croissance entre polynômes et exponentielle
• Approximation affine et allure graphique des courbes exponentielles
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction exponentielle et les phénomènes d'évolution