Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Domaine de définition : D_ = ]0 ; +[ • e^(x) = x pour x > 0 et (e^x) = x pour tout x R • Valeurs remarquables : (1) = 0 et (e) = 1 • Symétrie par rapport à la droite y = x avec la courbe de l'exponentielle

Le cours

Définition fondamentale du logarithme népérien La fonction exponentielle est une bijection continue et strictement croissante de R sur ]0 ; +[. Pour tout réel x > 0, il existe un unique antécédent noté (x) tel que : e^(x) = x (pour tout x > 0) Réciproquement, pour tout réel x R : (e^x) = x Domaine de définition et valeurs remarquables La fonction est définie strictement sur ]0 ; +[. Elle n'est définie ni en 0, ni pour les nombres négatifs. (1) = 0 car e^0 = 1. (e) = 1 car e^1 = e. Les courbes de y = e^x et y = (x) sont symétriques par rapport à la première bissectrice y = x. Équivalence fondamentale et méthode Pour tout réel x > 0 et tout réel y : y = (x) x = e^y Calculer (x), c'est donc chercher l'exposant qu'il faut donner à e pour obtenir x : (e^-2) = -2 ; (1/e) = (e^-1) = -1 ; (e^3 e) = (e^4) = 4. Pour les autres nombres, on utilise la touche [ln] de la calculatrice : (2) 0,693 et (10) 2,303. Lecture graphique La courbe de passe par les points (1 ; 0) et (e ; 1) : ce sont les symétriques, par rapport à la droite y = x, des points (0 ; 1) et (1 ; e) de la courbe de l'exponentielle. Elle est entièrement située à droite de l'axe des ordonnées, puisque n'est définie que pour x > 0.

Dans ce chapitre