Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance

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À retenir

• (ab) = (a) + (b) pour a, b > 0 • (a/b) = (a) - (b) et (1/b) = -(b) • (a^n) = n (a) pour tout n Z • (a) = 1/2 (a)

Le cours

Propriété fondamentale : transformation du produit en somme Pour tous réels a > 0 et b > 0, la fonction logarithme népérien transforme les multiplications en additions : (a b) = (a) + (b) Conséquences algébriques directes Pour tous réels a > 0, b > 0 et tout entier relatif n : Logarithme de l'inverse : (1/b) = -(b) Logarithme du quotient : (a/b) = (a) - (b) Logarithme d'une puissance : (a^n) = n (a) Logarithme d'une racine : (a) = 1/2 (a) Méthode : transformer une expression Décomposer les nombres en produits de facteurs premiers ou de puissances de e. Transformer produits en sommes, quotients en différences, puissances en coefficients. Remplacer (e) = 1 et (1) = 0, puis réduire. Exemples : (12) = (2^2 3) = 2(2) + (3) ; (e^3/2) = 3 - (2) ; dans l'autre sens, (5) + (4) - (2) = (5 4/2) = (10). Conditions d'utilisation Les formules exigent des nombres strictement positifs. Par exemple, ((-2) (-3)) = (6) existe, mais (-2) + (-3) n'a pas de sens. De même, pour x 0.

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques