Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Condition d'existence : (u) n'a de sens que si u > 0 ; on la pose avant tout calcul. • (ab) = (a) + (b), (a^n) = n(a), et e^x = k x = (k) pour k > 0. • ((u))' = u'/u ; est strictement croissante, négative sur ]0 ; 1[ et positive sur ]1 ; +[. • Échelles : pH = -[H_3O^+], L = 10(I/I_0) ; demi-vie t_1/2 = (2)/.

Le cours

1. Propriétés fondamentales de La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de l'exponentielle sur ]0 ; +[ : • (1) = 0 (e) = 1 (e^x) = x e^(x) = x \; (x > 0) • (a b) = (a) + (b) (a/b) = (a) - (b) • (a^n) = n (a) (1/a) = -(a) 2. Dérivée et variations Pour x > 0, ( x)' = 1/x > 0, donc est strictement croissante sur ]0 ; +[. Dérivée d'une composée : ( u)' = u'/u (pour u > 0). Limites de référence : _x 0^+ (x) = - et _x + (x) = +. 3. Échelles logarithmiques En sciences technologiques, l'échelle logarithmique compresse les plages de valeurs gigantesques : • Décibels acoustiques : L = 10 _10(I/I_0) (doubler l'intensité ajoute +3 dB). • Échelle de pH : pH = -_10[H_3O^+].

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques