Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• ((x))' = 1/x pour tout x > 0 • 1/x > 0 la fonction est strictement croissante sur ]0 ; +[ • (x) 0 pour x ]1 ; +[

Le cours

Dérivée de la fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien x (x) est dérivable sur son ensemble de définition ]0 ; +[ et : ((x))' = 1/x Sens de variation et tableau de signes Pour tout x > 0, on a 1/x > 0. La dérivée étant strictement positive, la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +[. Signe de (x) en fonction de x : Si 0 Si x = 1, alors (1) = 0. Si x > 1, alors (x) > 0 (strictement positif). Méthode : étudier une fonction contenant (x) Dériver avec ((x))' = 1/x. Réduire f'(x) au même dénominateur x. Comme x > 0, le signe de f'(x) est celui du numérateur : on en déduit le tableau de variations. Exemple : f(x) = 3(x) - x sur ]0 ; +[. On a f'(x) = 3/x - 1 = 3 - x/x, positive sur ]0 ; 3[ et négative sur ]3 ; +[. La fonction f est croissante sur ]0 ; 3], décroissante sur [3 ; +[, de maximum f(3) = 3(3) - 3 0,296. Comparer grâce à la croissance Pour a > 0 et b > 0 : a 1 x > e, puisque 1 = (e).

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques