Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• _x 0^+ (x) = - ⇒ asymptote verticale x = 0 • _x + (x) = + • Croissance très lente : _x + (x)/x = 0 • Limite produit remarquable : _x 0^+ x (x) = 0

Le cours

Limites de référence de la fonction L'ensemble de définition étant ]0 ; +[, on étudie les limites en 0^+ et en + : En 0^+ : _x 0^+ (x) = - La droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative. En + : _x + (x) = + La fonction croît vers +, mais de plus en plus lentement : il faut atteindre x = e^10 22\,026 pour que (x) dépasse 10. Croissances comparées usuelles Résultats admis : x l'emporte sur (x) aux bornes. _x + (x)/x = 0 et _x 0^+ x (x) = 0 Méthode : limite d'une expression contenant (x) Remplacer (x) par sa limite de référence (- en 0^+, + en +). Appliquer les règles sur les sommes, produits et quotients : -3 (-) = +, 5/+ = 0. En cas de forme indéterminée (+ - , /), factoriser pour faire apparaître (x)/x ou x(x). Exemple : en +, x - (x) est de la forme + - . On écrit x - (x) = x(1 - (x)/x) ; la parenthèse tend vers 1, donc _x + (x - (x)) = +. Interprétation graphique Limite infinie en un réel a : la droite d'équation x = a est asymptote verticale. Limite finie en + : la droite d'équation y = est asymptote horizontale. La courbe de a une asymptote verticale (x = 0) mais aucune asymptote horizontale.

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques