Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Pour tout réel x, e^x > 0 : l'équation e^x = k n'a aucune solution si k 0. • Si k > 0, l'équation e^x = k a une unique solution, que l'on encadre à la calculatrice par balayage. • e^A = e^B A = B et e^A < e^B A < B (stricte croissance). • e^a+b = e^a e^b, comme 10^n+m = 10^n 10^m.

Le cours

1. La fonction exponentielle (Première) Pour tout réel x, e^x > 0 ; e^0 = 1 et e^1 = e 2,718. Elle est strictement croissante sur R : e^A = e^B A = B et e^A Règles de calcul : e^a+b = e^a e^b, e^-a = 1/e^a, (e^a)^n = e^na, exactement comme 10^n+m = 10^n 10^m. Pour k > 0, t e^-kt est strictement décroissante sur R (modèle des décroissances : refroidissement, décharge). 2. Résoudre e^x = k en Première 1. Si k 0 : aucune solution, car e^x est toujours strictement positif (S = ). 2. Si k s'écrit e^B : on identifie les exposants, par exemple e^2x+1 = e^7 2x + 1 = 7 x = 3. 3. Sinon, pour k > 0, il existe une unique solution (stricte croissance) que l'on encadre par balayage à la calculatrice : e^1,60 4,953 et e^1,61 5,003, donc la solution de e^x = 5 est comprise entre 1,60 et 1,61. Ce chapitre donnera un nom et une valeur exacte à cette solution. 3. Puissances de 10 et notation scientifique Un nombre positif s'écrit a 10^n avec 1 a 4. Attention Les règles portent sur les produits : e^a + e^b ne se simplifie pas, et e^2x = (e^x)^2 n'est pas 2e^x.

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