Dérivée de la fonction composée (u(x))

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• ((u))' = u'/u pour toute fonction u > 0 • Cas affine : ((ax+b))' = a/ax+b • Comme u > 0, signe de ((u))' = signe de u' • f = (u) a exactement le même sens de variation que u

Le cours

Formule de dérivation de (u(x)) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction f(x) = (u(x)) est dérivable sur I et : ((u(x)))' = u'(x)/u(x) Étude du signe et des variations Puisque u(x) > 0 sur l'intervalle d'étude, le dénominateur de u'(x)/u(x) est toujours strictement positif. Le signe de la dérivée ((u(x)))' est donc STRICTEMENT identique au signe de u'(x). Les fonctions f(x) = (u(x)) et u(x) ont exactement le même sens de variation et leurs extremums se produisent aux mêmes abscisses. Méthode en trois étapes Identifier u(x) et vérifier que u(x) > 0 sur l'intervalle d'étude (c'est l'ensemble de définition). Calculer u'(x). Écrire f'(x) = u'(x)/u(x), puis étudier le signe de u'(x) seul. Exemple : f(x) = (2x + 5) est définie pour 2x + 5 > 0, soit sur ]-2,5 ; +[. On a f'(x) = 2/2x + 5 > 0 : f est strictement croissante. Ne pas confondre ((u))' n'est ni (u'), ni 1/u : la dérivée u' doit apparaître au numérateur. Vérification possible : ((3x))' = 3/3x = 1/x, cohérent avec (3x) = (3) + (x), dont la dérivée est aussi 1/x.

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques