Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Domaine : ]0 ; +[. Dérivée : ((x))' = 1/x. • Propriétés algébriques : (ab) = (a) + (b) et (a^n) = n (a). • Logarithme décimal : _10(x) = (x)/(10), avec _10(10) = 1 et _10(10^n) = n. • Doubler une puissance / intensité correspond à +3 dB (10 _10(2) 3,01).

Le cours

La fonction logarithme népérien : définition et propriétés Définie sur ]0 ; +[, la fonction est la réciproque de la fonction exponentielle : Dérivée : ((x))' = 1/x. Comme x > 0, ((x))' > 0 : la fonction est strictement croissante sur ]0 ; +[. Propriétés fondamentales (transforme les produits en sommes) : (a b) = (a) + (b), (a/b) = (a) - (b), (a^n) = n (a) Échelles logarithmiques en sciences et technologie Le logarithme décimal _10(x) = (x)/(10) vérifie _10(10^n) = n : Chimie (pH) : pH = -_10[H_3O^+] [H_3O^+] = 10^-pH. Acoustique (décibels) : niveau d'intensité sonore L = 10 _10(I/I_0) où I_0 = 10^-12 W/m^2. Doubler l'intensité sonore correspond à un gain de +3 dB. Atténuation en télécommunications : A = 10 _10(P_entréeP_sortie).

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques