Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien

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À retenir

• _10(x) = (x)/(10) • _10(10^n) = n pour tout entier n Z • _10(1) = 0 et _10(10) = 1 • (_10(x))' = 1/x (10)

Le cours

Définition du logarithme décimal Le logarithme décimal, noté ou _10, est défini pour tout réel x > 0 par : _10(x) = (x)/(10) C'est la fonction réciproque de la fonction puissance de dix x 10^x : 10^_10(x) = x et _10(10^x) = x Propriétés remarquables sur les puissances de 10 Pour tout entier relatif n : _10(10^n) = n _10(1) = 0 car 10^0 = 1 _10(10) = 1 car 10^1 = 10 _10(1000) = 3 et _10(0,01) = -2 Toutes les règles algébriques de s'appliquent à l'identique : (ab) = (a) + (b) et (a/b) = (a) - (b). Propriétés et méthode (a^n) = n(a) pour a > 0, et est strictement croissante sur ]0 ; +[, comme . Pour k > 0 : 10^x = k x = (k). Écriture scientifique : (a 10^n) = n + (a). Exemple : (2\,000) = 3 + (2) 3 + 0,301 = 3,301. Un entier N tel que 10^n N Signe et lien avec (x) < 0 pour 0 < x < 1, (1) = 0, et (0) n'existe pas. Les deux logarithmes sont proportionnels : (x) = (10) (x) 2,303 (x) ; on passe de l'un à l'autre en multipliant ou en divisant par (10).

Dans ce chapitre

• Puissances de 10, équations e^x = k et notations scientifiques de Première
• Résolution d'équations du second degré et factorisation de Première Technologique
• Notation scientifique et manipulation des puissances de 10 de Première Technologique
• Fonction logarithme népérien et échelles logarithmiques (pH, décibels)
• Définition du logarithme népérien comme bijection réciproque de l'exponentielle
• Propriétés algébriques fondamentales de : produit, quotient et puissance
• Dérivée et sens de variation de la fonction logarithme népérien
• Limites de (x) aux bornes de l'ensemble de définition et asymptotes
• Résolution d'équations et inéquations comportant des logarithmes
• Dérivée de la fonction composée (u(x))
• Le logarithme décimal _10 et ses relations avec le logarithme népérien
• Échelle de pH et calculs d'acidité des solutions chimiques
• Niveau d'intensité acoustique en décibels et puissance sonore
• Bilan : Synthèse et méthode sur la fonction logarithme et les échelles logarithmiques