Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique

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À retenir

• (x^n)' = n x^n-1 pour n 1 • (1/x)' = -1/x^2 • (ku + v)' = ku' + v' • (u/v)' = u'v - uv'/v^2

Le cours

Dérivation des fonctions polynômes La dérivation des fonctions polynômes repose sur les dérivées des puissances entières : (x^n)' = n x^n-1 (n 1) (k)' = 0 pour toute constante k. (a x + b)' = a. (k u)' = k u' et (u + v)' = u' + v'. Dérivation d'un quotient u/v Pour deux fonctions dérivables u et v avec v(x) 0 : (u/v)' = u'v - uv'/v^2 Cas particulier de l'inverse : (1/v)' = -v'/v^2. En particulier : (1/x)' = -1/x^2. Méthode : dériver une fonction rationnelle Repérer u et v, puis calculer u' et v'. Appliquer la formule sans développer v^2. Développer et réduire le numérateur seulement. Comme v^2 > 0, le signe de la dérivée est celui du numérateur. Exemple : f(x) = x/x + 2 sur ]-2 ; +[. Avec u = x, v = x + 2 : f'(x) = 1 (x + 2) - x 1/(x + 2)^2 = 2/(x + 2)^2 > 0. Points de vigilance Pour un polynôme, le coefficient reste en facteur : (-4x^3)' = -4 3x^2 = -12x^2. Pour un inverse, on n'oublie pas v' : (1/3x - 1)' = -3/(3x - 1)^2, et non -1/(3x - 1)^2.

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