Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Primitive de x^n : x^n+1n+1 (n 1) • Primitive de 1/x : (x) sur ]0 ; +[ • Primitive de 1/x^2 : -1/x • Primitive de e^kx : 1/k e^kx (k 0)

Le cours

Tableau fondamental des primitives usuelles En inversant le tableau des dérivées usuelles, on obtient les primitives de référence : Fonction f(x) Une primitive F(x) Intervalle de validité k (constante)kxR x^n (n N^*)x^n+1n+1R 1/x^2-1/x]0 ; +[ ou ]- ; 0[ 1/x(x)]0 ; +[ e^kx (k 0)1/k e^kxR Règle de linéarité Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors une primitive de f + g est F + G. Méthode et exemple Décomposer la fonction en somme de termes du tableau. Laisser chaque coefficient constant en facteur. Appliquer la ligne du tableau à chaque terme, puis vérifier en dérivant. Exemple : sur ]0 ; +[, f(x) = 5x^4 - 3/x + e^2x a pour primitive F(x) = x^5 - 3(x) + 1/2e^2x. Vérification : F'(x) = 5x^4 - 3/x + e^2x. Le cas n = -1 La formule x^n+1n+1 fonctionne aussi pour 1/x^2 = x^-2 : avec n = -2, on obtient x^-1-1 = -1/x. Elle ne s'applique pas pour n = -1 (dénominateur nul) : c'est pourquoi la primitive de 1/x est (x), sur ]0 ; +[.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral