Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• F primitive de f sur I F'(x) = f(x) pour tout x I • Toute fonction continue sur I admet des primitives • L'ensemble des primitives de f est donné par F(x) + C (C R) • Dériver une primitive redonne la fonction initiale

Le cours

Définition d'une primitive Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F, dérivable sur I, est appelée primitive de f sur I si pour tout x I : F'(x) = f(x) Théorème d'existence : toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur cet intervalle. Ensemble des primitives et constante arbitraire Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme : x F(x) + C (C R) Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle ne diffèrent que d'une constante additive. Méthode : vérifier ou trouver une primitive Pour vérifier que F est une primitive de f, on dérive F et on compare à f. Pour en trouver une, on cherche une fonction dont la dérivée est f, en lisant le tableau des dérivées « à l'envers ». Exemple : F(x) = x^2 + 3x et G(x) = x^2 + 3x - 7 sont deux primitives de f(x) = 2x + 3 sur R ; leur différence est la constante 7. Leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. Attention On dit « une » primitive : il y en a une infinité, qui diffèrent d'une constante. Primitive et dérivée vont en sens inverse : une primitive de x^2 est x^3/3, alors que sa dérivée est 2x. L'intervalle compte : -1/x est une primitive de 1/x^2 sur ]0 ; +[ (et sur ]- ; 0[), pas sur R.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral