Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• f'(a) = pente (coefficient directeur) de la tangente en x = a • Équation de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a) • Tangente horizontale f'(a) = 0 (candidat extremum) • Lecture graphique : pente = y/ x

Le cours

Nombre dérivé comme coefficient directeur Soit f une fonction dérivable en a. Le nombre dérivé f'(a) est égal au coefficient directeur (pente) de la droite tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) : f'(a) = pente de la tangente en A Si f'(a) > 0, la tangente « monte » (vers le haut et la droite). Si f'(a) Si f'(a) = 0, la tangente est strictement horizontale. Équation réduite de la tangente L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : y = f'(a)(x - a) + f(a) Lecture graphique du nombre dérivé Sur un graphique, on choisit deux points M et N bien lisibles de la tangente : f'(a) = y_N - y_M/x_N - x_M. Exemple : la tangente au point A(1 ; 2) passe aussi par N(3 ; -2). Alors f'(1) = -2 - 2/3 - 1 = -2, et cette tangente a pour équation y = -2(x - 1) + 2 = -2x + 4. Interprétation en sciences Le nombre dérivé est un taux de variation instantané, dans l'unité « unité de y par unité de x ». Si d(t) est une distance en mètres et t un temps en secondes, d'(t) est la vitesse instantanée en m/s : c'est la pente de la tangente à la courbe de d à l'instant t.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral