Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• = 1/b - a _a^b f(t)\,dt • Aire du domaine sous la courbe = (b - a) (aire du rectangle équivalent) • En électricité : valeur moyenne d'un signal périodique sur une période T • est toujours comprise entre le minimum et le maximum de f sur [a ; b]

Le cours

Définition mathématique de la valeur moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] avec a valeur moyenne de f sur [a ; b], notée ou f , est : = 1/b - a _a^b f(t)\,dt Interprétation géométrique et physique Géométrie : est la hauteur d'un rectangle de base [a ; b] qui a exactement la même aire que le domaine sous la courbe : Aire = (b - a) Électronique : la valeur moyenne d'une tension périodique u(t) sur une période T représente sa composante continue (mesurée par un voltmètre en mode DC) : U_moy = 1/T _0^T u(t)\,dt Méthode et exemples Calculer la longueur b - a de l'intervalle. Calculer l'intégrale _a^b f(t)\,dt à l'aide d'une primitive. Diviser l'intégrale par b - a et vérifier que le résultat est entre le minimum et le maximum de f. Exemple : la valeur moyenne de f(t) = e^t sur [0 ; 1] est 1/1[e^t]_0^1 = e - 1 1,72, comprise entre f(0) = 1 et f(1) 2,72. Sur une période entière, une tension sinusoïdale a une valeur moyenne nulle : les alternances positive et négative se compensent. Unités L'intégrale a pour unité « unité de f × unité de t » (par exemple Vs) ; après division par b - a, la valeur moyenne retrouve l'unité de f (des volts).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral