Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Une primitive se vérifie en dérivant : F' = f ; les primitives de f sont les fonctions F + C. • _a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), avec linéarité et relation de Chasles. • Aire en u.a. : intégrale de « courbe du dessus moins courbe du dessous », en découpant aux changements de signe. • Valeur moyenne = 1/b-a_a^b f(x)\,dx ; en physique, Q = i(t)\,dt et E = p(t)\,dt.

Le cours

1. Primitives des fonctions usuelles • f(x) = k F(x) = k x • f(x) = x^n F(x) = x^n+1n+1 (n -1) • f(x) = 1/x F(x) = (x) (x > 0) • f(x) = e^k x F(x) = 1/k e^k x (k 0) 2. Théorème fondamental et calcul d'intégrale Pour toute fonction f continue et de primitive F sur [a ; b] : _a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) Interprétation géométrique : si f 0, l'intégrale mesure l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. 3. Valeur moyenne d'une fonction La valeur moyenne de f sur [a ; b] (a < b) est donnée par = 1/b - a _a^b f(x)\,dx. Elle modélise la grandeur constante équivalente (ex. puissance moyenne, concentration moyenne).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral