Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• L'équation F(x_0) = y_0 détermine une UNIQUE valeur pour la constante C • Forme générale : F(x) = F_0(x) + C • Calcul : C = y_0 - F_0(x_0) • Indispensable en physique pour déterminer positions, vitesses et charges initiales

Le cours

Unicité de la primitive sous condition initiale Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x_0 I et y_0 R. Il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant la condition initiale : F(x_0) = y_0 Méthode de calcul en 3 étapes Déterminer l'expression générale des primitives avec la constante : F(x) = F_0(x) + C. Écrire l'équation issue de la condition initiale : F_0(x_0) + C = y_0. Résoudre cette équation du premier degré pour trouver la valeur unique de C, puis écrire la solution définitive. Interprétation graphique et physique Les primitives de f ont des courbes qui se déduisent les unes des autres par translation verticale ; la condition F(x_0) = y_0 choisit celle qui passe par le point (x_0 ; y_0). Exemple : les primitives de f(x) = 3x^2 sont F(x) = x^3 + C. Avec F(1) = 5 : 1 + C = 5, donc C = 4 et F(x) = x^3 + 4. En physique : la position est une primitive de la vitesse, la charge une primitive de l'intensité ; la valeur initiale (position ou charge à t = 0) fixe la constante. Attention La constante n'est égale à y_0 que si la condition porte sur un point où la partie variable s'annule. Pour F(x) = x^3 + C avec F(2) = 0, on obtient 8 + C = 0, donc C = -8 et non 0.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral