Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)

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À retenir

• _a^b f(t)\,dt = [F(t)]_a^b = F(b) - F(a) • F est n'importe quelle primitive de f (prendre C = 0) • La variable d'intégration est muette : _a^b f(t)\,dt = _a^b f(x)\,dx • Cas particuliers : _a^a f(t)\,dt = 0 et _b^a f(t)\,dt = -_a^b f(t)\,dt

Le cours

Théorème fondamental du calcul intégral Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b], et soit F une primitive quelconque de f sur [a ; b]. L'intégrale de f de a à b est le nombre réel noté : _a^b f(t)\,dt = [F(t)]_a^b = F(b) - F(a) Indépendance de la constante et variable muette Si l'on remplace F(t) par F(t) + C, le calcul donne (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) : la constante C s'annule toujours. On prend donc systématiquement C = 0. La variable d'intégration est une variable muette : _a^b f(t)\,dt = _a^b f(x)\,dx = _a^b f(u)\,du Méthode de calcul Chercher une primitive F de f (avec C = 0). Écrire les crochets [F(t)]_a^b. Calculer F(b) et F(a), puis F(b) - F(a) en mettant F(a) entre parenthèses. Exemple : _0^2 (3x^2 + 1)\,dx = [x^3 + x]_0^2 = (8 + 2) - (0 + 0) = 10. Une intégrale est un nombre Le résultat ne dépend plus de la variable : c'est un réel, qui peut être négatif. Par exemple _0^1 (-2x)\,dx = [-x^2]_0^1 = -1. Une intégrale négative n'est pas une erreur ; seule une aire doit être positive.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral