Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Primitive de u' e^u : e^u • Primitive de u'/u : (u) (avec u > 0) • Ajustement de constante : faire apparaître la dérivée u' en facteur • Toujours vérifier en redérivant

Le cours

Formes composées de référence En inversant les formules de dérivation de fonctions composées, on obtient : Forme exponentielle : une primitive de u'(x) e^u(x) est : e^u(x) Forme logarithmique : si u(x) > 0 sur I, une primitive de u'(x)/u(x) est : (u(x)) Méthode d'ajustement du coefficient Souvent, la dérivée u'(x) n'est présente qu'à un facteur constant c près : si f(x) = c\, u'(x) e^u(x), une primitive est c\, e^u(x) ; si f(x) = c\, u'(x)/u(x) avec u > 0, une primitive est c (u(x)). Exemples : e^3x - 1 = 1/3 3e^3x - 1 a pour primitive 1/3e^3x - 1 ; sur ]-1/2 ; +[, 1/2x + 1 = 1/2 2/2x + 1 a pour primitive 1/2(2x + 1). Quand la méthode ne s'applique pas Le facteur devant l'exponentielle doit être la dérivée de l'exposant, à une constante près. Pour x^2 e^x^2, la dérivée de x^2 est 2x et le facteur x^2 n'est pas de la forme c 2x : aucune des deux formules ne s'applique. Pour u'/u, il faut de plus u > 0 sur l'intervalle choisi.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral