Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Si f 0 : Aire = _a^b f(x)\,dx en u.a. • Si f 0 : Aire = -_a^b f(x)\,dx en u.a. • Entre deux courbes (f g) : Aire = _a^b (f(x) - g(x))\,dx • Conversion en cm^2 : multiplier par (unité en x) (unité en y)

Le cours

Aire sous une courbe positive Si f est une fonction continue et positive (f(x) 0) sur [a ; b], l'aire A du domaine délimité par la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b est : A = _a^b f(x)\,dx (en unités d'aire, u.a.) Si f(x) 0 (fonction négative), l'aire géométrique est A = -_a^b f(x)\,dx. Aire comprise entre deux courbes Si pour tout x [a ; b], on a f(x) g(x) (courbe C_f au-dessus de C_g), alors l'aire comprise entre les deux courbes vaut : A = _a^b (f(x) - g(x))\,dx Méthode : aire d'un domaine Étudier le signe de f (ou de f - g) sur [a ; b]. Découper l'intervalle avec la relation de Chasles aux points où le signe change. Calculer chaque intégrale et prendre son opposé sur les morceaux où la fonction est négative. Convertir en cm^2 si l'énoncé donne les unités graphiques. Exemple : f(x) = x - 1 sur [0 ; 2] est négative sur [0 ; 1] et positive sur [1 ; 2]. L'aire vaut -_0^1 (x - 1)\,dx + _1^2 (x - 1)\,dx = 1/2 + 1/2 = 1 u.a., alors que _0^2 (x - 1)\,dx = 0.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral