Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Linéarité : _a^b ( f + g) = _a^b f + _a^b g • Chasles : _a^b f + _b^c f = _a^c f • Positivité : f 0 et a b _a^b f(t)\,dt 0 • Inversion des bornes : _b^a f(t)\,dt = -_a^b f(t)\,dt

Le cours

Linéarité de l'intégrale Pour toutes fonctions f et g continues sur [a ; b] et pour tous réels et : _a^b ( f(t) + g(t))\,dt = _a^b f(t)\,dt + _a^b g(t)\,dt Relation de Chasles et positivité Relation de Chasles : pour tous réels a, b, c d'un intervalle : _a^c f(t)\,dt = _a^b f(t)\,dt + _b^c f(t)\,dt Positivité : si a b et f(t) 0 pour tout t [a ; b], alors : _a^b f(t)\,dt 0 Conservation de l'ordre : si a b et f(t) g(t), alors _a^b f(t)\,dt _a^b g(t)\,dt. Chasles pour une fonction définie par morceaux Soit f définie sur [0 ; 5] par f(t) = 2 si 0 t 3 et f(t) = t - 1 si 3 t 5 (les deux expressions valent 2 en t = 3). _0^5 f(t)\,dt = _0^3 2\,dt + _3^5 (t - 1)\,dt = 6 + [t^2/2 - t]_3^5 = 6 + 7,5 - 1,5 = 12 Encadrer une intégrale sans la calculer Si a b et m f(t) M sur [a ; b], alors par conservation de l'ordre : m(b - a) _a^b f(t)\,dt M(b - a) C'est l'aire comprise entre deux rectangles de même base.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions usuelles et lecture du tableau de variations de Première
• Calcul de dérivées des fonctions polynômes et rationnelles de Première Technologique
• Interprétation géométrique du nombre dérivé et de la tangente de Première Technologique
• Primitives, calcul d'intégrales simples et valeur moyenne
• Définition d'une primitive et ensemble des primitives d'une fonction continue
• Tableau des primitives des fonctions usuelles (x^n, 1/x, e^kx)
• Primitives de formes composées : u' e^u et u'/u
• Détermination de la primitive vérifiant une condition initiale
• Intégrale définie et formule fondamentale : _a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)
• Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité et relation de Chasles
• Calcul de l'aire géométrique sous une courbe et entre deux courbes
• Valeur moyenne d'une grandeur physique ou électrique sur un intervalle
• Applications technologiques du calcul intégral : énergie, puissance et charge électrique
• Bilan : Synthèse et méthode sur les primitives et le calcul intégral