Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• p_i = 1 (somme des probabilités toujours égale à 1) • E(X) = x_i p_i (moyenne pondérée par les probabilités) • Jeu équitable E(X) = 0 • Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = a E(X) + b

Le cours

Variable aléatoire discrète et loi de probabilité Une variable aléatoire discrète X prend un nombre fini de valeurs isolées \x_1, x_2, , x_n\. Donner la loi de probabilité de X, c'est associer à chaque valeur x_i sa probabilité p_i = P(X = x_i), avec la condition fondamentale : _i=1^n p_i = p_1 + p_2 + + p_n = 1 Espérance mathématique E(X) L'espérance représente la valeur moyenne théorique prise par X sur un très grand nombre de répétitions : E(X) = _i=1^n x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_n p_n Pour un jeu de hasard, si E(X) = 0, le jeu est dit équitable ; si E(X) > 0, il est favorable au joueur ; si E(X) Méthode en trois étapes 1. Lister les valeurs possibles de X (gains, pertes, nombres d'objets…). 2. Calculer la probabilité de chacune, la dernière s'obtenant souvent par complément à 1. 3. Calculer E(X) et l'interpréter comme une moyenne sur un grand nombre de répétitions. Mini-exemple : un dé équilibré rapporte 3 € si la face obtenue est 6 et rien sinon. Alors E(X) = 3 1/6 + 0 5/6 = 0,5 €.

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