Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Standardisation : Z = X - / N(0 ; 1) • Formule inverse : X = + Z • (0) = 0,5 • Symétrie : P(Z -z) = P(Z z) = 1 - (z)

Le cours

La loi normale centrée réduite N(0 ; 1) La loi normale ayant pour moyenne = 0 et pour écart-type = 1 est appelée loi normale centrée réduite. Sa densité est : (z) = 12 e^-z^2 / 2 Sa fonction de répartition est notée (z) = P(Z z). Par symétrie en 0 : (-z) = 1 - (z). Formule de standardisation (changement de variable) Si une variable aléatoire X suit une loi normale quelconque N( ; ^2), alors la variable Z définie par : Z = X - / suit rigoureusement la loi normale centrée réduite N(0 ; 1). Transformation réciproque : X = + Z. Méthode de calcul Pour calculer P(X x) avec X N( ; ^2) : 1. calculer z = x - / ; 2. écrire P(X x) = (z) ; 3. lire (z) dans une table ou à la calculatrice ; si z Exemple : X N(12 ; 4), donc = 2 et P(X 9) = (-1,5) = 1 - (1,5) 1 - 0,933 = 0,067.

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités