Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• P(c X d) = _c^d f(t)\,dt (aire sous la densité) • P(X s) = _A^s f(t)\,dt (fonction de répartition) • P(X s) = 1 - P(X s) (événement contraire) • Toute probabilité calculée doit être comprise dans [0 ; 1]

Le cours

Formule de calcul par intégration Pour une variable aléatoire continue X de densité de probabilité f sur un intervalle [A ; B], la probabilité que X appartienne à un sous-intervalle [c ; d] est l'aire sous la courbe entre c et d : P(c X d) = _c^d f(t)\,dt = F(d) - F(c) où F est une primitive de f sur [A ; B]. Probabilité de dépassement et événement contraire Pour calculer la probabilité de dépasser un seuil s, on utilise l'événement contraire : P(X s) = 1 - P(X Méthode et exemple 1. Vérifier que [c ; d] est inclus dans le domaine (hors du domaine, la densité est nulle). 2. Chercher une primitive F de f. 3. Calculer F(d) - F(c). 4. Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1. Exemple : X de densité f(t) = t/2 sur [0 ; 2]. Une primitive est F(t) = t^2/4, donc P(1 X 2) = 1 - 1/4 = 0,75 et P(X 1,5) = 1 - 2,254 = 0,4375.

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités