Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Espérance : E(X) = a + b/2 (milieu de l'intervalle) • Variance : V(X) = (b - a)^2/12 • Écart-type : (X) = b - a23 • En métrologie : incertitude d'une graduation q u = q23

Le cours

Espérance mathématique E(X) Pour une variable aléatoire X suivant la loi uniforme U([a ; b]), l'espérance est le milieu exact de l'intervalle : E(X) = _a^b x 1/b - a\,dx = a + b/2 Variance et écart-type La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : V(X) = (b - a)^2/12 L'écart-type est la racine carrée de la variance : (X) = V(X) = b - a12 = b - a23 0,289(b - a) Application en métrologie : cette formule donne l'incertitude-type liée à la résolution d'un afficheur numérique (incertitude de quantification rectangulaire). Exemple et ordre de grandeur Pour X U([0 ; 6]) : E(X) = 3, V(X) = 36/12 = 3 et (X) = 3 1,73. L'écart-type vaut toujours environ 29\ \% de la largeur de l'intervalle : doubler la largeur double l'écart-type et multiplie la variance par 4.

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités