Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Arbre pondéré : la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1. • Formule des probabilités totales : additionner les probabilités des chemins menant à l'événement. • Indépendance : A et B sont indépendants P(A B) = P(A) P(B).

Le cours

Rappels de probabilités de Première : conditionnement et variables aléatoires Les notions clés indispensables avant d'aborder les probabilités continues : Probabilité conditionnelle : P_A(B) = P(A B)/P(A) (avec P(A) > 0). Formule des probabilités totales : si A et A forment une partition : P(B) = P(A B) + P(A B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B) Variable aléatoire discrète : l'espérance E(X) = x_i P(X = x_i) mesure la moyenne théorique. Méthode : construire et lire un arbre pondéré 1. Premier niveau : les événements de la partition (A et A) avec leurs probabilités. 2. Second niveau : les probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B), etc. 3. Probabilité d'un chemin = produit des probabilités rencontrées. 4. P(B) = somme des probabilités des chemins qui mènent à B. Mini-exemple : P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,5 et P_A(B) = 0,2. Alors P(B) = 0,3 0,5 + 0,7 0,2 = 0,15 + 0,14 = 0,29. Branche ou chemin ? P_A(B) est la probabilité portée par une branche ; P(A B) est la probabilité d'un chemin entier. Pour une variable aléatoire, on dresse le tableau des valeurs x_i et des probabilités p_i (de somme 1), puis on calcule E(X) = x_i\,p_i.

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités