Probabilités continues, loi uniforme et loi normale

Terminale Technologique · Mathématiques Terminale Techno

À retenir

• Continu : P(X = c) = 0 pour toute valeur exacte. P(X c) = P(X < c). • Loi uniforme sur [a ; b] : P(c X d) = d - c/b - a, moyenne E(X) = a+b/2. • Loi normale N( ; ^2) : symétrique en , intervalle à 2 95\%. • Utilisation de la calculatrice (« normalFRép » sur TI, « NormCD » sur Casio) pour les calculs de probabilités.

Le cours

Variables aléatoires à densité et loi uniforme Une variable aléatoire continue prend une infinité non dénombrable de valeurs réelles dans un intervalle [a ; b] : Densité de probabilité f : fonction positive vérifiant _a^b f(t)\,dt = 1. Pour toute valeur ponctuelle c, P(X = c) = 0. Ainsi, P(c X d) = P(c Loi uniforme sur [a ; b] : la densité est constante : f(x) = 1/b - a. P(c X d) = d - c/b - a et E(X) = a + b/2 La loi normale N( ; ^2) et courbe en cloche Modèle universel pour les tolérances d'usinage, les erreurs de mesure et les rendements : La courbe de densité (courbe de Gauss) est symétrique par rapport à la moyenne , où elle atteint son maximum. Règles des plages de dispersion à retenir par cœur : P( - X + ) 0,68 (soit 68\% des valeurs). P( - 2 X + 2) 0,954 (soit 95\% des valeurs). P( - 3 X + 3) 0,997 (soit 99,7\% des valeurs).

Dans ce chapitre

• Probabilités discrètes, conditionnement et variables aléatoires de Première
• Variables aléatoires discrètes, loi de probabilité et espérance de Première Technologique
• Calculs de pourcentages et fréquences sur des séries statistiques de Première Technologique
• Probabilités continues, loi uniforme et loi normale
• Notion de variable aléatoire continue et fonction de densité de probabilité
• Calculs de probabilités par intégration d'une densité sur un intervalle
• La loi uniforme sur [a ; b] : fonction de densité et calculs de probabilités
• Espérance et variance de la loi uniforme sur un intervalle
• La loi normale N( ; ^2) : courbe en cloche et rôle des paramètres
• Loi normale centrée réduite N(0 ; 1) et standardisation Z = (X-)/
• Intervalles de dispersion 1-sigma, 2-sigma et 3-sigma (68 %, 95 %, 99,7 %)
• Calculs de probabilités normales et recherche de seuils à la calculatrice
• Contrôle de conformité industrielle et tolérances d'usinage par la loi normale
• Bilan : Synthèse et méthode sur les probabilités continues et lois de probabilités